Tích Phân Suy Rộng Là Gì? Cách Tính Tích Phân Suy Rộng

Bài viết Tích Phân Suy Rộng Là Gì? Cách Tính Tích Phân Suy Rộng thuộc chủ đề về Wiki How thời gian này đang được rất nhiều bạn quan tâm đúng không nào !! Hôm nay, Hãy cùng Moki.vn tìm hiểu Tích Phân Suy Rộng Là Gì? Cách Tính Tích Phân Suy Rộng trong bài viết hôm nay nhé ! Các bạn đang xem nội dung : “Tích Phân Suy Rộng Là Gì? Cách Tính Tích Phân Suy Rộng”

Đánh giá về Tích Phân Suy Rộng Là Gì? Cách Tính Tích Phân Suy Rộng

Tích phân suy rộnglà một trong số những kiến ​​thức Toán nâng caotrong chương trình Toán 12. Đây là lý do thuyết quan trọng đối lập với những học sinh có định hướng theo chuyên ngành Toán khi lên ĐH. Để hiểu rõ hơn về những khái niệm và cách tínhtích phân suy rộng, các em hãy theo dõi bài viết tổng hợp được biên soạn từ Marathon Giáo dục dưới đây.

>>> Xem thêm:

Định nghĩa tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng là giới hạn của một tích phân xác định khi cho cận tích phân tiến dần tới vô cùng. Tích phân suy rộng bao gồm 2 loại: tích phân với cận vô hạn (gọi là tích phân suy rộng loại 1) và tích phân của hàm số không bị chặn (tích phân suy rộng loại 2).

Tính chất của tích phân suy rộng

1. f khả tích trên [a; b] ∀b ≥ a. Khi đó, ∀α ≥ a.

footnotesize intop_a^+infinf(x)dx text và intop_α^+infinf(x)dx text cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (Cùng bản chất)

2. f khả tích trên [a; b], ∀b ≥ a. Khi đó, ∀α ≠ 0.

footnotesize intop_a^+infinf(x)dx text và intop_a^+infinαf(x)dx text cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (Cùng bản chất)\

3. f, g khả tích trên [a; b], ∀b ≥ a.

beginaligned &footnotesize intop_a^+infinf(x)dxtext và intop_a^+infing(x)f(x)dx text hội tụRightarrow intop_a^+infin(f+g)dx text hội tụ\ &footnotesize intop_a^+infinf(x)dx text hội tụ và intop_a^+infing(x)f(x)dx text phân kỳ Rightarrow intop_a^+infin(f+g)dx text phân kỳ endaligned

Điều kiện để tích phân suy rộng hội tụ

Mỗi loại tích phân suy rộng sẽ có những khó khăn hội tụ riêng, cụ thể như sau:

Định lý so sánh 1

Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 1 được thể hiện như sau:

Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên tập [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞

• Nếu tồn tại giới hạn (có khả năng là hữu hạn hoặc vô cùng) thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).

limlimits_bto +infinintop_a^bf(x)dx:=intop_a^+infinf(x)dx

beginaligned &footnotesizebull textNếu giới hạn này là hữu hạn, ta suy ra textbf tích phân suy rộngintop_a^+infinf(x)dx text là hội tụ.\ &footnotesizebull textNếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại, ta suy ratextbf tích phân suy rộngintop_a^+infinf(x)dx text là phân kỳ. endaligned

Tương tự, định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f(x) không bị chặn trên khoảng (a,b] và (a, b) sẽ lần lượt nhận x = a và x = b làm điểm bất thường. 

beginaligned &intop_a^bf(x)dx=limlimits_tto a^+intop^b_tf(x)dx text và intop_a^bf(x)dx=limlimits_tto a^+, t'to b^-intop_t^t'f(x)dx endaligned

Đối với tích phân có hai điểm bất thường x = a, x = b thì ta có khả năng viết như sau khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ:

intop_a^bf(x)dx=intop_a^cf(x)dx+intop_c^bf(x)dx

Định lý (tiêu chuẩn so sánh):

Cho hai hàm số g(x) và f(x) không âm và khả tích trên [a,t] với mọi t>a. Giả sử tồn tại số M sao cho f(x) ≤ g(x) với mọi x > M. Khi đó:

beginaligned &footnotesize textNếu intop_a^-infing(x)dx text hội tụ thì intop_a^+infinf(x)text hội tụ.\ &footnotesize textNếu intop_a^+infinf(x)dx text phân kỳ thì intop_a^-infing(x)text phân kỳ. endaligned

Hệ quả: 

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số dương khả tích trên [a,t] với mọi t>a. Giả sử:

limlimits_xto +infinfracf(x)g(x)=k

beginaligned &footnotesize bull textNếu 0< k < +infin text thì intop_a^+infinf(x)dx text và intop_a^-infing(x)dx text sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.\ &footnotesize bull textNếu k=0 text thì tồn tại M sao cho f(x) le c.g(x), forall x ge M text (giống với định lý).\ &footnotesize bull textNếu k=+infin text thì tồn tại M sao cho f(x) ge c.g(x), forall x ge M text (ngược với định lý). endaligned

Định lý so sánh 2

Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2:

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng [a,b] và khả tích trên [a,t]. Giả sử hàm số f(x) là hàm số xác định trên khoảng [a,b] và khả tích trên [a,t] với mọi a < t < b, ta có:

beginaligned &footnotesize bull textNếu tồn tại limlimits_tto b^-intop_a^tf(x)dx text thì giới hạn đó được gọi làtextbf tích phân suy rộng textcủa hàm số f(x) text trong khoảng \ &footnotesize text[a, b] và có ký hiệu làintop_a^bf(x)dx.\ &footnotesize bull textKhi đó, ta cũng nói rằng tích phân hội tụ: intop_a^bf(x)dx:=limlimits_tto b^-intop_a^tf(x)dx.\ &footnotesize bull textNếu f(a)=+infin: intop_a^bf(x)dx:=limlimits_tto a^+intop_t^bf(x)dx.\ &footnotesize bull textNếu f(c)=+infintext (với cin (a;b)): intop_a^bf(x)dx= intop_a^cf(x)dx+intop_c^bf(x)dx endaligned

Định lý (tiêu chuẩn so sánh):

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số không âm, khả tích trên [t; b] với mọi t ∈ (a; b] (a là điểm bất thường). Giả sử tồn tại c ∈ (a; b] sao cho f(x) ≤ k.g(x), ∀x ∈ (a; c]. Khi đó:

beginaligned &footnotesize bull textNếu intop_a^bg(x)dx text hội tụ thì intop_a^bf(x)dx text hội tụ.\ &footnotesize bull textNếu intop_a^bf(x)dx text phân kỳ thì intop_a^bg(x)dx text phân kỳ.\ endaligned

Hệ quả:

Với f(x) và g(x) là hai hàm số không âm và khả tích trên đoạn [t;b] với mọi t ∈ (a;b] (trong đó, a là điểm bất thường). Ta giả sử:

limlimits_xto a^+fracf(x)g(x)=k

beginaligned &footnotesize bull textNếu 0< k < +infin text thì intop_a^bf(x)dx text và intop_a^bg(x)dx text sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.\ &footnotesize bull textNếu k=0 text thì tồn tại c ∈ (a;b] sao cho f(x) le k.g(x), forall x ∈ (a;c]text (giống với định lý).\ &footnotesize bull textNếu k=+infin text thì tồn tại c ∈ (a;b] sao cho f(x) ge k.g(x), forall x ∈ (a;c]text (ngược với định lý). endaligned

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 12 Cực Trị Của Hàm Số Và Phương Pháp Tìm Cực Trị

Cách tính tích phân suy rộng

Hiện tại có rất nhiều cách tính tích phân suy rộng khác nhau. một trong số những cách được dùng được sử dụng thường xuyên nhất chính là phép biến đổi Laplace và Fourier.

Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier được thể hiện qua ví dụ sau:

textTính: I(x)=intop_0^infinfrac1-cosxtt^2dt

Bài giải:

Để giải bài toán này, ta áp dụng phép biến đổi Laplace hoặc Fourier cho 2 vế và tìm hàm gốc của tích phân vừa tìm được.

beginaligned &bull  L|I(x)|=intop_0^infin e^-pxleft( intop_0^infinfrac1-cosxtt^2dtright)dx\ &=intop_0^infinfrac1t^2left[ intop_0^infin e^-px(1-cosxt)dxright]dt\ &=intop_0^infinfrac1t^2L(1-cosxt)dt\ &=intop_0^infinfrac1t^2Bigg(frac1p-fracpp^2+t^2Bigg)dt\ &=left.frac1parctgfractpright|_t=0^infin=fracpi2p^2\ &bull L^-1Bigg[ fracpi2p^2 Bigg]=fracpi2x\ &textVậy I(x)=fracpi2x endaligned

Khai triển tích phân thành chuỗi

Khai triển tích phân thành chuỗi thường được ứng dụng nhiều trong các bài toán tích phân phức tạp. Việc lựa chọn hàm để triển khai sẽ quyết liệt đến việc bài giải có được tối ưu hay không. Vì vậy, khi triển khai và hoán vị tích phân của tổng tích phân, ta cần chú ý đến các đối tượng thu được có đảm bảo tính hội tụ của tích phân hay không. Các em có khả năng thấy rõ tình trạng này trong ví dụ dưới đây: 

textTính I=intop_0^infin e^-xleft(intop_0^xfrace^-t-1tdtright)lnxdx

Bài giải:

Để giải được bài toán phức tạp này, ta cần áp dụng kỹ thuật khai triển chuỗi Taylor như sau:

beginaligned &I=intop_0^infin e^-xleft(intop_0^xfrace^-t-1tdtright)lnxdx\ &=intop_0^infin e^-xleft(intop_0^xfracsumlimits_n=0^infin frac(-t)^nn!-1tdtright)lnxdx\ &=sum_n=1^infinfrac(-1)^nn!nintop_0^infin e^-xleft( intop_0^xt^n-1dtright)lnxdx\ &=sum_n=1^infinfrac(-1)^nn!nintop_0^infin e^-xx^nlnxdx\ &=sum_n=1^infinfrac(-1)^n Gamma'(n+1)n!n\ &=sum_n=1^infinfrac(-1)^n Psi(n+1)n\ &textTrong đó: Gamma(x) text và Psi(x) text là các hàm Gamma và PolyGamma.\ &sum_n=1^infinfrac(-1)^n Psi(n+1)n=gamma ln2+intop_0^1frac-ln2+ln(1+t)1-tdt=frac112(-pi^2+12gamma ln2+6ln^22)\ &textTrong đó: gamma text là hằng số Euler - Mascheroni. endaligned

>>> Xem thêm: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Gia sư Online

Trên đây là những kiến thức liên quan đến tích phân suy rộng – một trong số những kiến thức nâng cao nên biết trong chương trình Toán THPT. ngoài ra, các em đừng quên theo dõi website Marathon Education để học trực tuyến thường xuyên kiến thức Toán – Lý – Hóa hữu ích khác. Chúc các em học tập thật tốt và luôn đạt điểm cao.

Các câu hỏi về x?u g? t?t n??c s?n có ngh?a là gì

Các Hình Ảnh Về x?u g? t?t n??c s?n có ngh?a là gì

Tham khảo thông tin về x?u g? t?t n??c s?n có ngh?a là gì tại WikiPedia