Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Bài viết Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết thuộc chủ đề về HỎi Đáp Là Gì thời gian này đang được rất nhiều bạn quan tâm đúng không nào !! Hôm nay, Hãy cùng Moki.vn tìm hiểu Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết trong bài viết hôm nay nhé ! Các bạn đang xem nội dung : “Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết”

Đánh giá về Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Nguyên hàm là một trong số những chuyên đề quan trọng của Giải toán 12 và thường xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi ĐH. do đó có những công thức nguyên hàm quan trọng nào cần nhớ? Team Marathon Education sẽ giúp các em giải đáp và tìm hiểu rõ hơn về bảngcông thức nguyên hàmtừ cơ bản đến cải thiện và phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến thông qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào tìm hiểu công thức về nguyên hàm, các em cần nắm vững khái niệm nguyên hàm cũng như các tính chất và định lý liên quan.

✅ Mọi người cũng xem : th?ng d? v?n là gì

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:

int f(x)dx=F(x)+C    (forall  CinR)

✅ Mọi người cũng xem : lá é là cây gì

Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

• Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
• Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý. 
• Định lý 3: Trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

✅ Mọi người cũng xem : d? n? ban ??u là gì

Tính chất nguyên hàm

 3 tính chất cơ bản của nguyên hàm được thể hiện như sau: 

beginaligned &footnotesizebulltextNếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thi: (smallint f(x)dx)'=f(x) textvà \ &footnotesizesmallint f'(x)dx=f(x) +C.\ &footnotesizebulltextNếu F(x) có đạo hàm thì smallint d(F(x))=F(x)+C.\ &footnotesizebulltextTích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: smallint kf(x)dx=ksmallint f(x)dx.\ &footnotesizebulltextTổng, hiệu của nguyên hàm: smallint [f(x)pm g(x)]=smallint f(x)dxpm smallint g(x)dx endaligned

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng và cải thiện

Mỗi dạng nguyên hàm đều có những công thức riêng. Những công thức này đã được tổng hợp thành các bảng dưới đây để các em dễ dàng phân loại, ghi nhớ và áp dụng chính xác.

✅ Mọi người cũng xem : anh em cây kh? ngh?a là gì

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

✅ Mọi người cũng xem : ch?n t?o gi?ng cây tr?ng là gì

Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

✅ Mọi người cũng xem : d? n? cu?i k? techcombank là gì

Bảng nguyên hàm hàm số lượng giác

✅ Mọi người cũng xem : giá g??ng th? là gì

2 phương pháp giải bài tập nguyên hàm thường nhật

✅ Mọi người cũng xem : p? mu là cây gì

Phương pháp đổi biến số

Đây là phương pháp được sử dụng rất nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, các em cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhénh và chính xác hơn.

Phương pháp đổi biến loại 1:

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

 ∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải: 

Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này: 

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

✅ Mọi người cũng xem : thánh giá ti?ng anh là gì

Phương pháp nguyên hàm từng phần

✅ Mọi người cũng xem : cây mét là cây gì

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì: 

small smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-smallint v(x)u'(x)dx texthay  smallint udv=uv-smallint vdu\ (textvới du=u'(x)dx,  dv=v'(x)dx)

Cách giải: 

Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:

I=int f(x)dx=int f_1(x)f_2(x)dx

Tiếp theo, đặt: 

begincasesu=f_1(x)\dv=f_2(x)endcases implies begincasesdu=f'_1(x)dx\v=int f_2(x)dxendcases

Lúc này thì các em sẽ có:

smallint udv=uv-smallint vdu

Tùy thuộc vào từng dạng toán chi tiết mà các em áp dụng phương pháp sao cho phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính cụ thể Nhất

✅ Mọi người cũng xem : gi?ng song song là gì

Bài tập về công thức nguyên hàm

✅ Mọi người cũng xem : máy ép trái cây ch?m là gì

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) trên một khoảng.

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập xác định D.

Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D khi Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được định nghĩa như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên D, khi đó ta có công thức:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hay ∫udv = uv – ∫vdv

Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm số A = ∫xe^xdx

Lời giải:

beginaligned & small textĐặt begincases u=x \ dv=e^xdx endcases implies begincases du=dx \ v=e^x endcases \ & small textKhi đó, A = smallint xe^xdx = xe^x - smallint e^xdx = xe^x - e^x + C endaligned

Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài: 

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

b. Tính chất của tích phân là gì? Nêu ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

I = intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

b. Tính chất của tích phân:

beginaligned &intop^a_bf(x)dx=0\ &intop^b_af(x)dx=-intop^a_bf(x)dx\ &intop^b_akf(x)dx=kintop^b_af(x)dx\ &intop^b_a[f(x)pm g(x)]dx = intop^b_af(x)dxpm intop^b_ag(x)dx\ &intop^b_af(x)dx=intop^c_af(x)dx+intop^b_cf(x)dx endaligned

✅ Mọi người cũng xem : giá xu?t kh?u là gì

Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

beginaligned &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\ &c. f(x)=frac11-x^2\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 endaligned

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1

Suy ra

beginaligned smallint(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&small=int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\ &small =frac32x^4-frac113x^3+3x^2-x+C endaligned

b. Ta có:

beginaligned small sin(4x).cos^2(2x)&=frac12sin4x.cos4x+frac12sin4x\&=frac18sin8x+frac12sin4x endaligned

Suy ra:

small int(frac18sin8x+frac12sin4x)dx=-fraccos8x32-fraccos4x8+C

c. Ta có:

beginaligned small f(x)&=small frac11-x^2\ &=small frac1(1-x)(1+x)\ &=small frac12.frac1+x+1-x(1-x)(1+x)\ &=small frac12.frac11-x+frac12.frac11+x endaligned

Suy ra:

beginaligned int f(x)dx&=frac12.frac11-x+frac12.frac11+x \ &=frac12(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\ &=frac12lnbig|(1+x)(1-x)big|+C endaligned

d. Với bài tập này, các em có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc các em còn có khả năng dùng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau: 

Đặt t=e^x implies dt=e^x.dx=t.dx implies fracdtt=dx

Ta có:

beginaligned int f(x)dx&=int(e^x-1)^3dx\ &=int frac(t-1)^3tdt\ &=int left(t^2-3t+3-frac1tright)dt\ &=frac13t^3-frac32t^2+3t-ln|t|+C\ &=frac13e^3x-frac32e^2x+3e^x-ln|e^x|+C\ &=frac13e^3x-frac32e^2x+3e^x-x+C'\ &(Với C' = C-1) endaligned

Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài: 

Tính một vài nguyên hàm sau:

beginaligned &a)int(2-x).sinxdx\ &b) intfrac(x+1)^2sqrtxdx\ &c) intfrace^3x+1e^x+1dx\ &d)intfrac1(sinx+cosx)^2dx\ &e)intfrac1sqrt1+x+sqrtxdx\ &f)intfrac1(1+x)(2-x)dx endaligned

Hướng dẫn giải bài tập:

beginaligned &texta) Đặt begincasesu=2-x\dv=sinxdxendcases implies begincasesdu=-dx\v=-cosxendcases\ &textTheo công thức tính tích phân từng phần:\ &int(2-x)sinxdx\ &=(2-x)(-cosx)-int cosxdx\ &=(x-2)cosx-sinx +C\ &b) intfrac(x+1)^2sqrtxdx\ &=intfrac(x^2+2x+1sqrtxdx\ &=int (x^frac32+2x^frac12+x^frac-12)dx\ &=frac25x^frac52+2.frac23x^frac32+2.x^frac12+C\ &=sqrtx(frac25x^2+frac43x+2)+C\ &c)intfrace^3x+1e^x+1dx\ &=intfrac(e^x+1)(e^2x-e^x+1)e^x+1\ &=int (e^2x-e^x+1)dx\ &=frac12e^2x-e^x+x +C\ &d)intfrac1(sinx+cosx)^2dx\ &=intfrac1[sqrt2.cos(x-fracpi4)]^2dx\ &=intfrac12.cos^2(x-fracpi4)dx\ &=frac12.tan(x-fracpi4)+C\ &e) intfrac1sqrt1+x +sqrtxdx\ &=intfrac(x+1)-xsqrtx+1 +sqrtxdx\ &=intfrac(sqrtx+1 -sqrtx)(sqrtx+1 +sqrtx)sqrtx+1 +sqrtxdx\ &=int(sqrtx+1 -sqrtx)dx\ &=frac23(x+1)^frac32-frac23x^frac32 +C\ &=frac23(x+1)sqrtx+1-frac23xsqrtx+C\ &g)intfrac1(1+x)(2-x)dx\ &=intfrac1+x+2-x3(1+x)(2-x)dx\ &=intfrac1+x3(1+x)(2-x)dx+intfrac2-x3(1+x)(2-x)dx\ &=frac13intfrac12-xdx+frac13intfrac11+xdx\ &=-frac13ln|2-x|+frac13ln|1+x|+C\ &=frac13lnbig |frac1+x2-xbig|+C endaligned

✅ Mọi người cũng xem : cây x??ng sông là cây gì

Đề THPT Chuyên KHTN Lần 4

Đề bài:

Cho các số nguyên a và b thỏa mãn

beginaligned & small intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +frac32 + lnb endaligned

Hãy tính tổng P = a + b

Hướng dẫn giải bài tập:

beginaligned & small textĐặt begincases u=lnx \ dv=(2x+1)dx endcases implies begincases du=frac1xdx \ v=x^2 +x endcases \ & small textKhi đó, \ & small intop_2^1 (2x+1)lnxdx \ & small = (x^2 + x)lnx left. right|^2_1 - intop_2^1 (x^2 + x).frac1xdx \ & small = 6ln2 - intop_2^1 (x + 1)dx \ & small = 6ln2 - left.left( fracx^22 + x right) right|^2_1 \ & small = 6ln2 - (4 - frac32) \ & small = -4 + frac32 + ln64 \ & small textVậy a = -4 và b = 64. Lúc đó. P = a + b = 60. endaligned

✅ Mọi người cũng xem : cây tràm là cây gì

Đề thi thử Sở Giáo Dục Bình Thuận

Đề bài:

Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:

K = intop_0^3 xf(x)dx

Hướng dẫn giải bài tập:

Đối với dạng bài cải thiện này, các em sẽ kết hợp 2 phương pháp là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.

beginaligned & small textĐặt n = x + 1, khi đó: \ & small K = intop_0^3 xf(x)dx \ & small = intop_-1^2 F(x+1)d(x+1) \ & small = intop_3^0 F(n)dn \ & small =1 \ & small textKế tiếp, ta đặt begincases u=x \ dv=f(x)dx endcases implies begincases du=dx \ v=F(x) endcases \ & small textLúc đó: \ & small K = intop_0^1xf(x)dx = left.xF(x)right|_0^3 - intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8 endaligned

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Gia sư Online

Qua bài viết trên, Team Marathon Education đã chia sẻ đến các em lý thuyết cơ bản về nguyên hàm, bàng nguyên hàm cơ bản và mở rộng và các công thức nguyên hàm cần nắm vững. Hy vọng bài viết sẽ giúp các em ghi nhỡ những công thức nguyên hàm này một cách hiệu quả và giúp vận dụng chúng để giải bài tập một cách nhanh chóng. 

Hãy liên lạc ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online cải thiện kiến thức nha! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

Các câu hỏi về g? nguyên li?u là gì

Các Hình Ảnh Về g? nguyên li?u là gì

Tra cứu thêm tin tức về g? nguyên li?u là gì tại WikiPedia